Ecuaciones

Clasificación de las ecuaciones según su grado

Introducción al álgebra | Ecuaciones e inecuaciones |

Ecuaciones de 1° grado; Ecuaciones de 2° grado; Ejemplos de ecuaciones de 2° grado; Ecuación bicuadrada

El grado de una ecuación es el mayor exponente a que se eleva un término en X.
Según el grado de la ecuación, distinguimos varios tipos de ecuaciones:

Ecuaciones de 1° grado

Las ecuaciones de 1° grado son aquellas en que la incógnita sólo se halla elevada a 1. Estas ecuaciones dan una solución.
Ejemplos:

2x - 5 = x
4x - 3× (x - 2) = 8
(x/2) - 6 = 2x + 1
3× (x + 1) - 2× (1 - 2x) = 5 - (x + 4) + 8x

Todas las ecuaciones de 1° grado se pueden reducir a la forma ax = b, donde x es la incógnita, a es el coeficiente de X y b es el término independiente.
Para resolver una ecuación de 1° grado se debe proceder según explicamos en el Modelo de resolución de ecuaciones en el tema de Ecuaciones e inecuaciones531.

Ecuaciones de 2° grado

En estas ecuaciones, el exponente máximo de la X es 2 (al cuadrado). Se caracterizan porque, al contrario que las ecuaciones de 1° grado, éstas pueden tener una, dos o ninguna solución. Lo más corriente, sin embargo, es que den 2 soluciones.
Ejemplos:

x² - 4 = 0
9x² = 25
x² = 6x
3× (x - 2)× (x - 3) = 2x - 4
(((x + 2)² )/3) + (2x - 1)² = 2× (x + 1)

Todas las ecuaciones de 2° grado se pueden reducir a la forma ax + bx + c = 0, donde x es la incógnita, a es el coeficiente de x , b es el coeficiente de x y c es el término independiente. Si una ecuación de 2° grado se puede reducir a estos 3 términos, es una ecuación de 2° grado completa. Si, por el contrario, le falta el término en X y/o le falta el término independiente, estamos ante una ecuación de 2° grado incompleta.

Para resolver una ecuación de 2° grado completa, debemos reducirla a la forma especificada antes (ax + bx + c = 0) y aplicarle la fórmula siguiente:

Si tenemos una ecuación de 2° grado incompleta, se resuelve dependiendo del término que le falte:
. Si le falta el término en X, se actúa así:

Dada la ecuación:
  3x² - 12 = 0:
  3x² = 12 => x² = 12/3 =>
  x² = 4 =>

(x² ) =

4 =>
x = 2

. Si le falta el término independiente, la forma de resolución es la siguiente:

Dada la ecuación:
  10x² + 4x = 0
Se saca factor común a x:
  x× (10x + 4) = 0
  (sabemos que si el producto de dos expresiones da 0, eso significa que al menos uno de los factores es 0. Así que puede haber dos soluciones)
Solución 1:
  x = 0
Solución 2:
  10x + 4 = 0
  10x = -4
  x = (-4) / 10
  x = -0,4

Ejemplos de ecuaciones de 2° grado

* Dada la ecuación 3× (x-2)× (x-3) = 2x - 4 (completa)
3× (x² - 3x - 2x + 6) = 2x - 4
3x² - 9x - 6x + 18 = 2x - 4
3x² - 9x - 6x + 18 - 2x + 4 = 0
3x² - 17x + 22 = 0

* Dada la ecuación x² - 6x = 0 (incompleta)

* Dada la ecuación 3x + 2 = 0 (incompleta)
3x² = - 2
x² = (-2)/3

Parábola
La representación gráfica de una ecuación de 2° grado es una parábola, en la cual la abertura, el vértice, y la posición dependen de los valores de a, b y c:

Ecuación bicuadrada
La bicuadrada es aquella ecuación en la cual los exponentes de los términos en X son 4 y 2.
La forma de estas ecuaciones es la siguiente:
ax^4 + bx^2 + c = 0
Para resolver una ecuación de estas características, se define una incógnita y cuyo valor es el cuadrado de x. De esta forma, y = x² .
Después, se sustituye la variable y por la variable x en la ecuación, quedando así:
ay² + by + c = 0
Lo cual es una ecuación de 2° grado completa de la que ya hemos hablado.
Sin embargo, para resolver esta ecuación debemos encontrar el valor de x. Así que cuando encontremos las dos soluciones de y, debemos hallar la raíz cuadrada (recordemos que y = x , por tanto x = +- y) de cada una de ellas, lo que nos dará dos soluciones de x por cada una de y. Puesto que hay dos soluciones de y, en total puede haber hasta 4 soluciones.
Para que el funcionamiento de la ecuación bicuadrada se entienda mejor, desarrollaremos el siguiente ejemplo:

Así pues, la ecuación nos da dos soluciones reales para X: 3 y -3. Las otras dos soluciones no son reales porque la raíz cuadrada de los números negativos (como -9,4) no pertenecen a R.

VI.3.2