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Fracciones. Quebrados

Fracciones

El conjunto de los números | Multiplicar | Dividir | Razones y proporciones | Mínimo común múltiplo (M.C.M.) |

Fracciones; Equivalencia de las fracciones. Simplificación; Operaciones con fracciones; Transformación de fracciones a números decimales
Las fracciones son números racionales (pertenecientes a Q) que expresan un cociente.
Su forma es la siguiente:

donde a es el numerador (que debe pertenecer a Z, es decir, ser entero) y b es el denominador (que debe ser entero distinto de 0). El número decimal que representa esta fracción es la que resulta de dividir a entre b.
a pertenece Z; b pertenece {Z – 0}
Ejemplo: La fracción

representa al número decimal racional 0,75 (3/4 = 0,75).

Equivalencia de fracciones. Simplificación
Una fracción es equivalente a otra si su valor (resultado de dividir numerador entre denominador) es el mismo que el de la otra fracción.
Simplificar es hallar una fracción equivalente a la dada dividiendo el numerador y el denominador entre un mismo número.
Cada fracción tiene un número infinito de fracciones equivalentes que se obtienen multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número.
Ejemplo: Fracciones equivalentes de 54/78

Todas estas fracciones son equivalentes (la equivalencia en fracciones se expresa con el signo ~ y no con =) porque la división que expresa cada una de ellas da el mismo resultado. Al ser equivalentes decimos que también son proporcionales129. Hay infinitas fracciones equivalentes mayores que la dada, puesto que hay infinitos números por los que podemos multiplicar la fracción, sin que el resultado varíe.
Si nos fijamos, la última fracción empezando por la derecha (9/13) ya no se puede dividir entre ningún número para lograr otra fracción equivalente. Ésa es la fracción irreducible de 54/78, es decir, aquella que no se puede simplificar.
A recordar:
· Fracciones equivalentes son aquellas cuyos cocientes dan los mismos resultados.
· Una fracción tiene infinitas fracciones equivalentes, que se obtienen multiplicando y dividiendo numerador y denominador por el mismo número.
· Fracción irreducible es aquella que no se puede simplificar.
· El símbolo de equivalencia entre fracciones es ~.

Operaciones con fracciones
· Suma y resta de fracciones. Para poder sumar o restar fracciones, es necesario que éstas tengan el mismo denominador.
· Si tienen denominadores diferentes, se deben igualar sin variar el valor de las fracciones, sacando el mínimo común múltiplo241 de los denominadores. Una vez hecho eso, se multiplica cada uno de los numeradores por el cociente entre el denominador común y el denominador propio de la fracción correspondiente.

· Cuando tienen el mismo denominador, la fracción resultante es otra fracción cuyo numerador es la suma o resta de los numeradores de las fracciones operadas, y cuyo denominador es el común denominador de dichas fracciones.

· Producto de fracciones. El producto de fracciones es igual a otra fracción cuyo numerador y denominador son el producto de los numeradores y denominadores operados, respectivamente.

· Cociente de fracciones. Para dividir dos fracciones se multiplica el numerador de dividendo por el denominador del divisor, obteniendo el numerador resultante; y el denominador del dividendo por el numerador del divisor, obteniéndose el denominador de la fracción resultante.

Transformación de fracciones en números decimales.
Para transformar una fracción en un número racional debemos efectuar el cociente indicado, es decir, dividir el numerador entre el denominador.
Los números decimales derivados de las fracciones se clasifican de la siguiente manera:
 · Números decimales exactos.
Ejemplo: 2/4 = 0,5
 · Números decimales indefinidos periódicos.
Estos números son generados por fracciones cuya división no se acaba nunca de hacer, pues nunca se consigue un resto 0 y siempre se repite una cifra o un conjunto de ellas.
Se dividen en:
  · Periódicos puros, si el grupo de cifras que se repite empieza en el lugar de las décimas.
Ejemplo: 1/3 = 0,33333333...
  · Periódicos mixtos, si el grupo de cifras repetido no empieza en las décimas.
Ejemplo: 213/88 = 2,4204545454545…


El grupo de cifras decimales que se repiten se llama período, y la parte decimal que no entra en el período (si el número es un periódico mixto) se llama anteperíodo.

En los ejemplos anteriores:
0,333333… -> el período es 3, puesto que esta cifra se repite.
2,420454545… -> el período es 45, puesto que las dos cifras se repiten hasta el infinito a partir de las milésimas. El anteperíodo es 420.

Propiedades de las operaciones básicas.
Las propiedades de las operaciones básicas son las siguientes:
. Propiedad conmutativa
a + b = b + a ; a × b = b × a
El orden de los números en la operación no altera el resultado final.
¿Dónde se cumple la propiedad conmutativa?
Suma: 3 + 4 = 4 + 3 = 7 Sí
Resta: 7 – 3 = 4; 3 – 7 = -4 No
Producto: 5 × 6 = 6 × 5 = 30 Sí
División: 30 : 10 = 3; 10 : 30 = 1/3 No

. Propiedad asociativa
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c ;
( a × b ) × c = a × ( b × c )
Las agrupaciones que se puedan hacer con los números de una operación no alteran el resultado final.
¿Dónde se cumple la propiedad asociativa?
Suma: 3 + ( 5 + 4 ) = ( 3 + 5 ) + 4 = 12 Sí
Resta: 7 – ( 2 – 1 ) = 6; ( 7 – 2 ) – 1 = 4 No
Producto: 5 × ( 6 × 3 ) = ( 5 × 6 ) × 3 = 90 Sí
División: 60 : (2/10 ) = 600; (60/2) : 10 = 3 No

. Propiedad distributiva
a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) ;
a × ( b - c ) = ( a × b ) - ( a × c )
La propiedad distributiva del producto respecto a la suma y la resta dice que:
· El producto de un factor por una suma es igual a la suma de los productos del factor por cada uno de los sumandos
· El producto de un factor por una resta es igual a la diferencia de los productos del facor por el minuendo y el sustraendo.
Ejemplo:
· 5×(4+3) = (5×4) + (5×3) = 35; 5 × 7 = 20+15 = 35
· 2×(8-2) = (2×8) – (2×2) = 12; 2 × 6 = 16–4 = 12


I.2.5