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en 4º de ESO

Razones, proporciones y Regla de tres

Razones, proporciones y regla de tres

División o Cociente | Fracción o Quebrado | Ecuaciones |

Razón geométrica; Proporcionalidad. Proporciones; Aplicaciones de las proporciones (Regla de tres simple, Porcentajes, Media proporcional)

Razón geométrica
La razón geométrica es el cociente de dos números. El primer número se llama antecedente; y el segundo, consecuente.
La razón se puede presentar de dos maneras:
· a : b: siendo a el antecedente y b el consecuente.
· a: en forma de quebrado o fracción, donde el numerador sería el antecedente y el denominador el consecuente.
Y se lee de la siguiente manera: antecedente es a consecuente.
Ejemplos:
La razón de 6 y 3 es 2 (6 : 3 = 2). Se lee 6 es a 3.
La razón de 18 y 6 es 3 (18 : 6 = 3). Se lee 18 es a 6.
La razón de 5 y 10 es 0,5 (5 : 10 = 0.5). Se lee 5 es a 10.

Proporcionalidad. Proporciones
Se dice que dos magnitudes son proporcionales o guardan proporcionalidad cuando el crecimiento de una afecta al crecimiento de la otra.
Si la relación es positiva -crece una y crece otra; decrece una y decrece la otra- hablamos de proporcionalidad directa (espacio y tiempo, compra y gasto, etc.). En caso contrario, estamos ante la proporcionalidad inversa, en la cual el crecimiento de una magnitud implica el decrecimiento de la otra, y al revés (trabajadores y tiempo que tardan en hacer algo, miopía y vista, comida y hambre, etc.).


Una proporción es una igualdad entre dos razones. Estas dos razones han de ser proporcionales.

El ejemplo anterior es una proporción, puesto que iguala dos razones en forma de fracción.
Las proporciones tienen 4 términos: el primero (numerador de la primera fracción) y el cuarto (denominador de la segunda) se llaman extremos; y el segundo (denominador de la primera fracción) y el tercero (numerador de la segunda) se llaman medios.

En el ejemplo anterior, los medios (en rojo) y los extremos (en azul) serían éstos:
Para que una proporción sea correcta, se debe cumplir que el producto de medios sea igual al producto de extremos. Esta regla se llama Propiedad Fundamental de las Proporciones, y nos sirve para resolver y comprobar si las proporciones son correctas, como veremos más adelante.
En el ejemplo, se cumple esta propiedad, puesto que 12 × 32 = 64 × 6 = 384.
El problema en las proporciones se suele reducir a encontrar un término desconocido que ha de ser a su compañero de la fracción lo que su homólogo en la otra fracción (si el n° desconocido es un numerador, su homólogo es el otro numerador; si el n° desconocido es un denominador, el homólogo también lo deberá ser) es a su respectivo compañero de fracción:

En la proporción anterior, tenemos que descubrir el término ?, que debe ser a 4 lo que 7 es a 2.
¿Cómo se resuelve?
Si dividimos 7 entre 2, obtenemos 3,5. Como las dos fracciones tienen que ser proporcionales, el resultado de la primera fracción debe ser igual al de la segunda. Así que ? entre 4 debe dar también 3,5.
Pero ? es el dividendo (antecedente) de la división ? : 4. Por tanto, se debe cumplir la propiedad del cociente, que dice que
D = ( d × c ) + r. Aplicando esa propiedad en nuestro caso, tenemos que
? = ( 4 × 3,5 ) + 0,
y por tanto
? = 14.
Así que, al final, obtenemos la siguiente proporción:

¿Cómo se comprueba?
Pero, ¿cómo saber si está bien hecha? A primera vista se ve que está bien, porque las dos fracciones son equivalentes (el numerador y denominador de la primera fracción se dividen entre dos y se obtiene la segunda fracción). Y, cuando dos fracciones son equivalentes son también proporcionales.
Sin embargo, cuando la proporcionalidad no está tan clara se puede comprobar multiplicando los medios por los extremos.
Resolución mediante ecuaciones
Este método de los medios y los extremos sirve también para encontrar términos desconocidos, pero entonces se deben utilizar ecuaciones.
La proporción con la que hemos trabajado se resolvería así (la x sustituye al término ?):
2·x = 7·4 =>
2x = 28 =>
x = 28/2 =>
x = 14

Aplicaciones de las proporciones
Las proporciones tienen múltiples usos y aplicaciones. Las más importantes son las de la regla de tres, los porcentajes y la media proporcional.

Regla de tres simple
La regla de tres simple es es una proporción, es decir, una igualdad de dos razones.
La regla de tres simple puede ser directa o inversa, según cómo sea la relación de proporcionalidad entre las magnitudes que la conforman.
. Si es directa, se resuelve como una proporción normal:
  Ejemplo:   Si doce niños comen 7 pasteles, ¿cuántos pasteles comerán 6 niños?

12(2°) -> 7(3°)
6(1°) --> x(?)

  Deberíamos multiplicar el opuesto al desconocido (1) con el que se halla encima o debajo de la X (el desconocido) (2). El producto de esos dos números se debe dividir entre el número restante (3) y así se obtiene la x.
  x = ( 6 × 7 ) / 12 = 3,5

. Si es inversa, se intercambia un medio con un extremo y se procede como en cualquier proporción.
  Ejemplo:   Si seis niños hacen un mural en 24 minutos, ¿cuánto tardaría un niño solo?
6 -> 24
1 --> x

  Cambiamos un medio con un extremo:
6 -> x
1 --> 24

  Y operamos como en cualquier proporción.
  x = ( 6 × 24 ) / 1 = 144 minutos

Porcentaje
Para calcular un porcentaje o tanto por ciento (%) debemos hacer una regla de tres simple directa. De las cuatro cantidades que la forman, siempre conocemos tres: la cantidad que queremos transformar en tanto por ciento, el total con el que se compara y el total con el que se compara el tanto por ciento (100).
Ejemplo:
En una clase hay 34 niños pero hoy han faltado 13. ¿Qué porcentaje sobre el total ha faltado a clase?

13 -> 34
X --> 100

13 es a 34 lo que X (el porcentaje) es a 100. Éste sería el planteamiento correcto para este tipo de problemas, en el que la incógnita es el porcentaje sobre cien.
Al resolverlo como una proporción normal, tendríamos que
X = ( 100 × 13 ) / 34 = 38,23 % aproximadamente.

Media proporcional.
La media proporcional de dos números es la raíz del producto de los medios de una proporción cuyos extremos son los dos números dados. ¿Cuál es la media proporcional de 3 y 18?

Aplicando la Propiedad Fundamental de las Proporciones (ver más arriba), por la cual el producto de medios es igual al producto de extremos, obtenemos que:
3·18 = x·x =>
54 = x² =>
x =54 = 3,748…


I.2.9