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Álgebra

Polinomios

Introducción al Álgebra | Operaciones con polinomios |

Valor numérico de un polinomio; Términos de un polinomio – Clasificación por número de términos; Grado de un polinomio; Orden, homogeneidad y estructura de un polinomio; Valor numérico de un polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

en la que:
· x es la incógnita
· a0, a1, a2, a3 … an son los coeficientes de los términos
· n es el exponente máximo del polinomio

Valor numérico de un polinomio
El valor numérico de polinomio para determinadas incógnitas es el número que resulta tras sustituir las incógnitas por sus valores y efectuar las operaciones que se indican. Ver V.1 Introducción al Álgebra: Valor numérico de una expresión y semejanza.

Términos de un polinomio. Clasificación por número de términos
Un polinomio está constituido por la suma (adición o diferencia) de una serie finita de términos algebraicos formados por un coeficiente real y una parte literal integrada por una o varias incógnitas elevadas a sus correspondientes exponentes:

Cada término lleva asociado un grado o exponente de la incógnita. Cuando en el término no aparece incógnita (ejemplo: 56), se trata de un término independiente y su grado (exponente de la X) es 0: 56·x^0 = 56 · 1 = 56 -> Término independiente.
Dependiendo del número de términos que integren un polinomio, distinguimos entre:


Un monomio es un polinomio de un único término, de tal forma que ambas palabras (monomio y término) son equivalentes. A partir de ahora nos referiremos indistintamente a términos o monomios para referirnos a expresiones del tipo ax^n (ver arriba).

Grado de un polinomio
El grado de un polinomio es el mayor exponente a que se halla elevado uno de sus términos. Es, pues, el exponente del término con mayor grado.
Así, el grado de 6x^8 + 3x^3 + 15x^2 + 12x - 9 es 8; y el grado de 7x + 6 es 1.
Según el grado, los polinomios se pueden clasificar en:

Orden, homogeneidad y estructura de un polinomio
Si nos fijamos en el orden de un polinomio, distinguiremos entre polinomios ordenados y desordenados.
· Un polinomio está ordenado respecto a una incógnita (denominada ordenatriz o principal) cuando sus términos (o monomios) están ordenados de forma creciente o decreciente según los exponentes de dicha incógnita.
· En caso contrario, decimos que el polinomio está desordenado respecto a esa incógnita.
Ejemplos:
 Dado el polinomio desordenado P(x, y) de dos variables x e y.
  P(x,y) = 18·x·y^2 – 3· x^2·y^3 – 5·x^3 - 6
 Ordenamos P(x, y) respecto a la incógnita x de forma decreciente, pero no respecto a y (ordenatriz = x).
  P(x,y) = – 5·x^3 – 3· x^2·y^3 + 18·x·y^2 – 6 (Secuencia de exponentes de x: 3, 2, 1, 0)
 Ahora hemos ordenado P(x, y) respecto a y de forma creciente y lo hemos desordenado respecto a x (ordenatriz = y).
  P(x,y) = – 6 – 5·x^3 + 18·x·y^2 – 3· x^2·y^3 (Secuencia de exponentes de y: 0, 0, 2, 3)

Las tres formas de expresar P(x, y) son igualmente correctas. Se observa, pues, que en los polinomios se cumple la propiedad conmutativaconmutativa.

Si nos analizamos la homogeneidad de un polinomio, clasificaremos éstos en homogéneos y heterogéneos.
· Un polinomio es homogéneo cuando está formado por términos o monomios del mismo grado.
 · Cuando el polinomio homogéneo sólo tiene una incógnita, será de la forma:


en la que g será el grado del polinomio y el de todos sus monomios o términos formantes.
Ejemplos:
Los polinomios P(x), G(y) y H(z) son polinomios homogéneos de grado 2, 3 y 1, respectivamente.
 P(x) = 3·x^2 – 5x^2 + 6x^2
 G(y) = 5·y^3 – 8·y^3 + 12·y^3 + y^3
 H(z) = 67·z – 21·z + 4·z

 ·Cuando el polinomio tiene varias incógnitas, el grado de cada monomio será la suma de los exponentes de las incógnitas. Un ejemplo de polinomio homogéneo con varias incógnitas es:
Ejemplo:
 Q(a,b) = a^4 – 3·a^3·b – 5·a^2·b^2 + a·b^3 + 7·b^4
Se puede observar que la suma de exponentes de cada término siempre da 4, que es el grado del polinomio.
 4 + 0 = 1 + 3 = 2 + 2 = 3 + 1 = 0 + 4 = 4

· Si el grado de todos los monomios no es igual, estaremos ante un polinomio heterogéneo.

Por último, atendiendo a la estructura, clasificaremos los polinomios en polinomios completos e incompletos.
· Los polinomios completos respecto a una incógnita son aquellos que tienen todos los exponentes de esa incógnita desde el máximo hasta 0 (término independiente).
Ejemplo:
 El polinomio Q(a, b) es completo respecto a a y a b. (Exponentes de a: 0, 4, 2, 3, 1) (Exponentes de b: 3, 0, 2, 1, 3)

· Los incompletos respecto a una incógnita son aquellos en los que faltan uno o varios exponentes de dicha incógnita.
Ejemplos:
Los polinomios P(x) y H(z) son incompletos respecto a su incógnita x y z, respectivamente.
  P(x) = –x^3 – 4x^2 + 36 (Exponentes de x: 3, 2, 0. Falta el exponente 1)
H(z) = z^4 – z^5 + 7·z^3 + 9·z (Exponentes de z: 4, 5, 3, 1. Faltan los exponentes 0 y 2)


V.2.1